TextBoxコントロール上でのドラッグ＆ドロップでフォームを移動させようとした場合、 文字列を選択する操作とバッティングしないようにする必要がある。
以下はTextBoxクラスを継承し上記の処理を実装したクラス。

using System.Drawing;
using System.Windows.Forms;

namespace Anis.WindowsForms {
    /// <summary>
    /// ドラッグされると属するフォームを移動するテキストボックス
    /// </summary>
    public class DAndDMoveTextBox :TextBox{
        const int WM_LBUTTONDOWN = 0x201;
        Point mouseDownPoint = new Point();
        bool dAndDMoveFlag = false;
        bool isMoved = false;
        int selectionStart, selectionLength;

        /// <summary>
        /// マウスの左ボタンが押下され、その後にD&Dされるとフォームが移動されると判定された時に発生します。
        /// e.Cancelプロパティにtrueをセットすると移動をキャンセル出来ます。
        /// </summary>
        public event DAndDMovingEventHandler DAndDMoving;

        protected override void WndProc(ref Message m) {
            switch(m.Msg) {
            case WM_LBUTTONDOWN:
                selectionStart = this.SelectionStart;
                selectionLength = this.SelectionLength;
                break;
            }

            base.WndProc(ref m);
        }

        protected override void OnMouseDown(MouseEventArgs e) {
            if(e.Button == MouseButtons.Left) {
                mouseDownPoint = e.Location;
                bool flag = true;
                int charHeight = this.Font.Height;

                for(int i = 0; i < this.Lines.Length; i++) {
                    Point point = new Point(0, i * charHeight);
                    Size size =
                        TextRenderer.MeasureText(
                            this.Lines[i],
                            this.Font);
                    Rectangle rect = new Rectangle(point, size);

                    if(rect.Contains(e.Location)) {
                        flag = false;
                        break;
                    }
                }

                DAndDMovingEventArgs args = 
                    new DAndDMovingEventArgs(e.Button, e.Clicks, e.X, e.Y, e.Delta, false);

                if(DAndDMoving != null && flag) {
                    DAndDMoving(this, args);

                    if(args.Cancel) {
                        flag = false;
                    }
                }

                this.dAndDMoveFlag = flag;
                this.isMoved = false;
            }

            base.OnMouseDown(e);
        }

        protected override void OnMouseMove(MouseEventArgs e) {
            Form form = this.FindForm();

            if(dAndDMoveFlag && form != null) {
                Point p = form.Location;
                p.Offset(
                    new Point(e.X - mouseDownPoint.X, e.Y - mouseDownPoint.Y));
                form.Location = p;

                isMoved = true;
            }

            base.OnMouseMove(e);
        }

        protected override void OnMouseUp(MouseEventArgs mevent) {
            if(dAndDMoveFlag && isMoved) {
                this.Select(selectionStart, selectionLength);
            }

            dAndDMoveFlag = false;
            isMoved = false;

            base.OnMouseUp(mevent);
        }
    }

    public class DAndDMovingEventArgs :MouseEventArgs {
        public DAndDMovingEventArgs(MouseButtons button, int clicks, int x, int y, int delta, bool cancel) 
            : base(button, clicks, x, y, delta) {

            this.Cancel = cancel;
        }
        public bool Cancel { set; get; }
    }

    public delegate void DAndDMovingEventHandler(object sender,DAndDMovingEventArgs e);
}

デザイナーで配置するだけで機能する。